Az1996-97.
tanév versenyfeladatai
1. FELADAT: TÖBBÉ KEVÉSBÉ
PLUSZ MÍNUSZ
A következõ feladat megoldását németül,
angolul, franciául, olaszul vagy spanyolul adjátok meg!
( 10 pont )
Peter hat den Tisch sechs Karten gelegt, die völlig gleich aussehen.
Auf der anderen Seite trä gt jede
von ihnen jeweils eine der Zahlen +1, +2, +3, -1, -2, -3.
Peter schlä gt seinem Freund
Paul das folgende Spiel vor: Beide drehen gleichzeitig eine Karte um. Ist
das Produkt der beiden Zahlen positiv, so ist Paul der Gewinner. Wenn das
Produkt negativ ist gewinnt Peter.
Nach einigen Runden stellt Paul fest, dass Peter öfter gewinnt.
Um seine Chancen zu erhöhen, schlä
gt er vor, eine der Karten mit einer negativen Zahl aus dem Spiel zu entfemen
und mit fünf Karten weiterzuspielen.
Hat Paul recht?
Begründe die Antwort.
Pierre a posé sur la table six cartes présentant un verso
identique. Au recto de chacune d’elles figurent respectivement les nombres
+1, +2, +3, -1, -2, -3.
Pierre propose alors á son ami Paup le jeu suivant:
Ils retournent simultanément chacun une carte. Si le produit
des deux nombres qui apparaissent est positif, alors Paul gagne. Si le
produit est négatif c’est Pierre le gagnant.
Apres quelques parties, Paul se rend comte que Pierre gagnye plus souvent
que lui. Aussi, pour augmenter ses chances de gagner, il propose á
Pierre d’enlever une carte portant un nombre négatif et de reprendre
le jeu avec les cinq cartes restantes.
Paul a-t-il raison?
Justifier la reponse.
2. FELADAT: ÁLTALÁNOS FELÜGYELET
A mellékelt ábrán egy kiállító
terem alaprajza látható. A teremben levõ 18 falfelületre
helyezték el a kiállított képeket. A satírozott
rész a látogatók elõl elzárt területet
jelöli.
A szervezõk biztonsági okokból 4 kamerát
szeretnének elhelyezni a falakon. Minden falszakasz belátható,
és minden kamera is megfigyelhetõ kell legyen valamelyik
másik kamera segítségével.
A falakon elhelyezett kamerák látószöge 135
o.
Az A, B és C pont három kamera helyzetét jelöli..
Rajzoljátok le a válasz-lapra a terem alaprajzát
1/100-as méretarányban, majd helyezzétek el a negyedik
kamerát a megadott feltételeknek megfelelõen! Színezzétek
ki négy különbözõ színnel az egyes
kamerák látómezejét!
( 5 pont )
3. FELADAT: A BÛVÖS
KERET
Claudia és Laetitia négy fadarabból egy keretet állit
össze. Minden egyes darabnak mind a négy oldalát megszámozzák
1-tõl 16-ig.
"Ez csodálatos! - kiált fel Claudia. Az egyes darabok
négy oldalára írt számok összege mindegyiken
34."
Laetitia kézbeveszi a keretet, vizsgálgatja,s leteszi
az asztalra az ábrán látható módon,
majd igy válaszol:
"Ez még mind semmi! Ha összeadom az alsó négy
trapézon vagy a négy fölsõ trapézon levõ
számokat, netalán a négy függõleges belsõ
vagy a négy függõleges külsõ oldalon levõ
számokat, végül a négy, közös csúccsal
rendelkezõ bármely négy lapon levõ számokat,
mindig 34-et kapok eredményül."
Készítsétek el a test hálózatát
az ábrán látható módon, és írjátok
be a hiányzó számokat!
( 10 pont )
4. FELADAT: FELBÉLYEGZETT FELADAT
Gerard gyûjteményében 1, 2, 3, 4 és 5 frankos
bélyegek találhatóak. Ezekbõl 16 darabbal kirakható
egy 4 x 4-es táblázat minden négyzete úgy,
hogy semelyik sorban, oszlopban, átlóban illetve átlóval
párhuzamos egyenes mentén sincs két egyforma értékû
bélyeg, s az elhelyezett bélyegek összértéke
nem haladja meg az 50 frankot.
Rajzoljatok le a feltételeket kielégítõ
egy lehetséges elhelyezést!
( 5 pont )
5. FELADAT: SAROKRÓL SAROKRA
Egy A4-es levélpapír 21 cm széles és 
cm
magas.
Úgy hajtjuk össze a lapot, hogy két szemköztes
csúcs egymásra kerüljön. Így egy ötszöget
kapunk.
Számítsátok ki az ötszög területének
pontos értékét!
( 10 pont )
6. FELADAT: PICI KOCKÁK
Egy kocka lapjait négy-négy egybevágó négyzetre
osztjuk.
Az így kapott 24 négyzetet színezzétek
ki 3 színnel úgy, hogy az oldalban találkozó
négyzetek különbözõ színûek legyenek!
Ragasszátok fel a válaszlapra a kocka hálózatát
ilyen módon kiszínezve!
( 5 pont )
7. FELADAT: KUTYA-KERINGÕ
Blöki egy pórázon a tanya kútkávájához
van kikötve: innen vigyáz a konyha nyitott ajtajára.
Egyszercsak feltûnik Cicus. Az ajtó felé settenkedik,
de mikor észreveszi Blökit, menekülni kezd a fal mentén.
Óriási hajsza indul a kút körül! Miközben
Blöki kergeti Cicust, a póráz feltekeredik a kútgyûrûre...
Íme az adatok:
- a tanya udvara négyzet alakú, oldala 20 méter
hosszú
- a kút az udvar közepén van
- a kútgyûrû átmérõje 1,20
méter
- a póráz 8 méter hosszú és nem
nyúlik.
Rajzoljátok le 1/100-as méretarányban a válaszlapra
Blöki útját , feltételezve azt, hogy a hajsza
során mindig megfeszül a póráz.
( 10 pont )
8. FELADAT: KISZÖGELÉS
Egy 20 cm oldalhosszú, négyzet alakú falemezbe 1 cm-enként
szögeket vertek a rajzon látható módon.
Szeretnénk körülkeríteni egy nyolcszöget
úgy, hogy annak minden csúcsa egy-egy szög legyen, s
a lehetõ "legszabályosabb" legyen: a nyolcszög szögei
egyenlõek legyenek, négy oldala legyen párhuzamos
a lemez egy-egy oldalával és két szomszédos
oldal hosszának aránya a lehetõ legjobban közelítse
meg az 1-et!
Rajzoljátok le a válaszlapra a "szögrácsot",
s jelöljétek be színessel a nyolcszöget!
(5 pont )
9. FELADAT: DESCARTES-SZORZAT
René DESCARTES (1596-1650) a "Geometria" címû könyvében
az alábbi eljárást írja le, amely körzõvel
és vonalzóval elvégezhetõ, s két szakasz
szorzatát adja meg.
" Legyen például AB az egység és BD szakaszt
kell szorozni BC-vel. Nem kell mást tennem, mint elhelyezni az A
és C pontokat, majd meghúzni DE egyenest az AC-vel párhuzamosan.
BE lesz a keresett szorzat."
1.) Igazoljátok Descartes eljárásának helyességét!
2.) Az elõbbi AB szakaszt egységnek választva,
az itt látható két szakasz hossza a és b.
Descartes által leírt módszert módosítva
szerkesszetek egy a/b hosszúságú szakaszt!
( 10 pont )
10. FELADAT: FEJREÁLLT ...
Haddock kapitány az ebédhez jócskán fogyasztott
kedvenc whisky-jébõl. Tintin nem is állta meg, hogy
szóvá ne tegye:
"De kapitány, micsoda dolog ez! Tegnap még az asztalon
lévõ üveg tele volt, most meg
csak 14 cm magasan áll benne az ital!"
"Ezer ördög és pokol!" - válaszolta ingerülten
a kapitány, és közben megfordítja az üveget.
" Az üvegben 19 cm magas a whisky szintje a dugó fölött!"
Az üvegbe 0,76 liter folyadék fér.
Számítsátok ki cm3 pontossággal,
mennyi ital maradt az üvegben!
( 15 pont )
11. FELADAT: MINDIG UGYANÚGY
Dupont asszony minden este autóval megy férje elé
a pályaudvarra. Mindig ugyanakkor indul otthonról, mindig
ugyanazon az útvonalon megy mindig ugyanazzal a sebességgel
hogy mindig pontosan 18 óra 30 percre érjen az állomásra:
mindig ekkor érkezik ugyanis Dupont úr vonata. Ezután
együtt mennek haza, mindig ugyanazon az útvonalon mindig ugyanazzal
a sebességgel.
Egyszer azonban Dupont úr egy másik vonattal érkezik,
amelyik 18 óra 10 perckor fut be az állomásra. Felesége
még nem ért oda, gyalogosan vág neki a hazafelé
vezetõ útnak. Út közben összetalálkoznak,
s együtt mennek haza. Így 10 perccel hamarabb érnek
lakásukhoz, mint a többi napon szoktak.
Mennyi ideig gyalogolt Dupont úr ?
( 5 pont )
12. FELADAT: ÁTLAG HATÁROK
NÉLKÜL
Több, mint 1000 osztály vett részt Bergengóciában
a "MATEMATIKA HATÁROK NÉLKÜL" versenyen. A versenyzõ
osztályok egy része nyolcadikos, a másik része
kilencedikes volt. A sok résztvevõre való tekintettel
az északi és déli tartományban külön-külön
hirdették meg a versenyt.
Az ereményhirdetésen a szervezõk értékelték
az egyes feladatok megoldását. Az egyik 10 pontot érõ
feladatnál a következõ hangzott el: "E feladat mindkét
tartományban külön külön vizsgálva jobban
sikerült a nyolcadikosoknak. Ha azonban a két tartományt
együtt tekintjük, a kilencedikesek átlagpontszáma
felülmúlja a nyolcadikosokét."
Az értékelés többekben kételyt ébresztett
... pedig a szervezõk nem tévedtek!
Keressetek példát , amely a leírt helyzetet valósítja
meg!
( 10 pont )
13. FELADAT: VARÁZSGÖMB
Madame Lune a híres jósnõ eltörte a kristálygömbjét.
A jósláshoz pedig pontosan ugyanolyan sugarú gömbre
lenne szûksége!
E sugár meghatározására Napraforgó
professzort kéri fel. A professzor a probléma megoldására
szferométert használ.
Ez egy olyan eszköz, amely segítségével számítható
a gömbtest sugara. Három lábon áll a szerkezet,
a lábak 9 cm oldalú szabályos háromszöget
alkotnak. A szerkezet "lelke" egy tû, amely a lábak által
alkotott háromszög síkjára merõlegesen
áll, s egyenese átmegy a háromszög középpontján.
A szferométer három lábát Napraforgó
professzor ráhelyezi a törött gömb egy darabjára.
Ezután addig csavarja a tût, amíg annak hegye nem érinti
a gömbfelületet. Ekkor a mûszerrõl leolvasható,
hogy a tû hegye a háromszög síkjától
2 cm távolságra van.
Számítsátok ki a kristálygömb sugarát
...és jósoljátok meg a jövendõt.
( 15 pont )
