1.feladat–Mágikus korongok– 7 pont
 

A megoldást angolul, németül, franciául, olaszul vagy spanyolul fogalmazzátok meg minimum 30 szóban.

Genevi?ve montre un tour de magie ? son amie Anne. Dos tourné, elle lui dit :

« Dispose en ligne droite 13 jetons numérotés de 0 ? 12 en les plaçant dans l'ordre décroissant de leurs valeurs de gauche ? droite.

Retourne-les pour masquer leurs valeurs.

Rajoute sur la m?me ligne, ? droite de ceux déj? placés, 12 autres jetons choisis au hasard, leurs valeurs étant cachées.

Enfin déplace ? gauche de la ligne un certain nombre de ces 12 derniers jetons ».

Genevi?ve se retourne alors et voit une ligne de 25 jetons tous identiques. Elle en prend un seul qui lui indique le nombre de jetons déplacés par Anne.

Expliquer le tour de magie.

Genoveffa mostra alla sua amica Anna un gioco di magia. Con le spalle girate le dice :

« Allinea 13 gettoni numerati da 0 a 12 sistemandoli con valore decrescente da sinistra a destra.

Girali per nasconderere i lori valori.

Aggiungi sulla stessa linea, alla destra di quelli gia sistemati, 12 altri gettoni scelti a caso essendo i loro valori nascosti.

Infine, sposta a sinistra della linea un certo numero di questi ultimi 12 gettoni ».

Genoveffa si gira, quindi, e vede una linea di 25 gettoni tutti identici. Ne prende uno solo che le indica il numero dei gettoni spostati da Anna.

Spiegare questo gioco di magia.

Genoveva zeigt ihrer Freundin Anne einen Zaubertrick. Mit dem Rücken zu Anne sagt sie zu ihr :

“ Lege 13 Spielmarken, die von 0 bis 12 nummeriert sind in einer Reihe vor dich hin. Ordne sie von links nach rechts in absteigender Reihenfolge an. Drehe sie um, damit ihr Wert verdeckt ist.
 
 

Fügenuninderselben Reihe rechts 12 weitere, zufällig ausgewählte Spielmarken an, deren Wert ebenfalls verdeckt ist.
 
 

Jetzt verschiebst du von diesen 12 hinzugekommenen Marken eine bestimmte Anzahl an das linke Ende der Reihe. “

Genoveva dreht sich um und sieht vor sich eine Reihe von 25 gleichen Spielmarken. Sie nimmt eine davon und erkennt, wie viele Marken verschoben wurden.

Erkläre diesen Trick.

Genoveva le ense?a un truco de magia a su amiga Ana.

De espaldas a ella, le dice :

« Pon en una línea recta 13 fichas numeradas de 0 a 12, colocándolas en orden decreciente de su valor y de izquierda a derecha.

Ponlas cara abajo para que no se pueda ver el valor de cada una.

A la derecha de las fichas ya colocadas y en la misma línea, pon otras 12 fichas, elegidas por azar y también cara abajo.

Por fin, desplaza a la izquierda de la línea algunas fichas sacadas de entre éstas últimas. »

Genoveva se vuelve y ve una línea de 25 fichas idénticas.

No saca más que una ficha y esta ficha le indica el número de fichas desplazadas por Ana.

Explicar el truco de magia.

Genevieve shows her friend Anne a magic trick. With her back to Anne, she gives her the following instructions :

« Lay out 13 tokens numbered 0 to 12 in a straight line, setting them in decreasing order from left to right.

Then turn them face down to hide the numbers written on them.

To the right of those already laid out but along the same line, add twelve more tokens picked at random with their faces down.

End by moving to the left end of the line some of the tokens that have just been added. »

Genevieve then turns round, facing a line of 25 identical tokens. She picks one and it tells her how many tokens have been moved by Anne.

Explain what the trick is.

2. feladat – Nem is olyan könnyű – 5 pont
 
 

Aurélie Pan-sípot szeretne készíteni tíz sípból, melyek a dó – ré – mi – fá – szó – lá – ti – dó – ré – mi megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú.

Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk. (pl. dó – dó’)

Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk. (pl. dó – szó, vagy ré – lá )

Számítsátok ki a 10 síp hosszát, állítsátok nagyság szerinti sorrendbe és rajzoljátok le eredeti nagyságban Aurélie Pan-sípját. Az egyes sípok külső átmérője 1 cm.

3. feladat – Egy tucat … – 7 pont
 

Egy négyzetrácsos papíron kört rajzolunk, amelynek középpontja egy rácspont, sugara egy rácsnégyzet oldalának kétszerese. Ez a kör 12 pontban metszi a négyzetrácsot.

Vajon a 12 pont szabályos tizenkétszöget határoz-e meg ? Állításotokat bizonyítsátok !

4. feladat – Kocka-világ – 5 pont
 
 

Egy bolygó kocka alakú, a « földgömb » is egy kocka, melynek lapjai 36 egybevágó négyzetből állnak. A rajzokon vastag vonal jelzi az országhatárokat.
(Az ábra készítés alatt)
 

5. feladat – 8 lépcső – 7 pont

Egy elárusító, aki hegymászáshoz használható kötelet árul, egy 1 méteres mérőrúddal rendelkezik.

A következő műveleteket hajthatja végre :

• Egy méteres darab lemérése és hozzáadása vagy elvétele a már lemért darabhoz (indulásnál 0-hoz)
• A lemért hossz megduplázása

Hogyan járt el az egyes esetekben ?
 

6. feladat – Bűvös dominó – 5 pont

Annamaria 28 különböző dominót helyezett el a rajzon látható módon egymáshoz illesztve, négyzetet formálva a darabokból. A szomszédos dominók illeszkedő oldalán azonos szám van, egy mezőn legfeljebb hat pont lehet.

A négyzet csúcsaiban ugyanolyan dominó mező áll.

Rajzoljatok le egy ilyen elhelyezést !

7. feladat – Tüdő-fraktál– 7 pont

Fraktálnak nevezünk egy geometriai alakzatot, ha annak részei ugyanolyan struktúrájúak, mint az egész, csak más méretben.

Itt látható a « tüdő-fraktál » konstrukciójának három lépése.

Minden háromszög egyenlő szárú, és ugyanakkorák a szárszögeik.

Legyen a = 12° és AB = 15 cm.

Számítsátok ki a háromszögek szögeit, és szerkesszétek meg a negyedik lépés ábráját!

8. feladat – Üzemzavar – 5 pont
 
 

A számológépem elromlott :

amikor a 0-t beütöm, 1-et ír ki és tárol;

amikor a 1-et beütöm, 2-t ír ki és tárol;

amikor a 2-t beütöm, 3-at ír ki és tárol;

stb.

amikor a 9-et beütöm, 0-t ír ki és tárol.

Az összes többi gomb jól működik.

Így ha a 12 + 34-t ütöm be, a gép 23 + 45-öt ír ki, és eredményként 68-at ad.

Még így is előfordul, hogy a beírt összeadás eredményét jól írja ki.

Adjatok példát egy ilyen összeadásra, s magyarázzátok meg!
 

9. feladat – Svájci számla – 7 pont

Mind a tíz számjegy felhasználásával írjatok fel tíz egész számot egymás után az alábbi módon.

Az első szám egyjegyű, a második szám kétjegyű, stb. a tizedik szám tízjegyű legyen.

Mindegyik számot úgy kapunk meg az előzőből, hogy az elejére vagy végére illesztünk egy számjegyet. Az így adódó számokra teljesüljön az, hogy az első szám osztható legyen 1-gyel, a második 2-vel, a harmadik 3-mal egészen a tizedikig, amelyik 10-zel legyen osztható.
 
 
 

10. feladat – Kívül-belül – 10 pont

Alex bohóc ruhájának külseje piros, belseje kék. Kivágott belőle egy derékszögű háromszöget, megfordította, és így akarta visszavarrni. Azt remélte, hogy így a piros ruháján egy kék háromszög díszítés lesz.

Csakhogy a megfordított háromszög nem fedte le teljesen a lyukat. Azt vette észre, hogy ha a háromszöget kettévágja, a két darabbal már teljesen lefedheti a kivágást. Sőt, akkor is dekorálhatja így a ruháját, ha a háromszög nem derékszögű volt.

Mutassatok Alex eljárására két példát: egyet derékszögű, egyet tetszőleges háromszögre.

Bizonyítsátok is az eljárást !
 
 

11. feladat – Láb probléma – 5 pont
 
 

Tudor molnárhoz beállított Jacques testőr egy henger alakú zsák búzával, amely 4 láb magas, 6 láb körméretű (kerületű) volt. A molnár felajánlotta, hogy a könnyebb szállíthatóság érdekében a búzát átrakja két, egyenként 4 láb magas és 3 láb körméretű zsákba, ezekbe együttesen ugyanannyi búza fér.

Jacques, aki jól tud számolni, a molnár ajánlatára rögtön kardot ránt mérgében.

Adjatok matematikai indoklást tettére!

A feladat OZANAM (1640 - 1717) matematikai feladatgyűjteményéből való.

12. feladat – Made in Japan – 7 pont
 

Az alábbi ábra Japán Gumma tartományából származó, 1824-ben készült festett fatábla egy darabját mutatja be.
 

A rajzon három kör érinti az AB egyenest, és páronként egymást is. Tudjuk, hogy R₁ = 9 cm, R₂ = 4 cm és AB = 12 cm.

Számítsátok ki R₃ -at!
 
 
 

13. feladat – 2000 – 10 pont
 

Eliane a számológépe segítségével megtalálta a 2000-nek egy olyan egész kitevőjű hatványát, amely 100 jegyű szám.

« Van-e 2000-nek olyan hatványa, amely 1000 jegyű ? » - gondolkodott el Eliane.

Melyik hatványt találta meg, és segítsetek a kérdés megválaszolásában!

A választ indokoljátok !
 
 

Vissza a próbafordulók feladatsoraihoz

2000-2001. verseny feladatsora