Az 1998-99. tanév versenyfeladatai
1999. MÁRCIUS 11.
1. FELADAT: FAX SIMILÉ
![](99v1a.jpg)
E feladat megoldását angolul, németül, franciául
olaszul vagy spanyolul adjátok meg!
( 10 pont )
2. FELADAT: FÁRAÓ SZÁMTAN
A
fáraók idejében az egyiptomiak csak az 1 számlálójú
törtekkel számoltak.
A híres Rhind-papiruszon a következõ
eljárást írták le ilyen törtekkel való
mûvelet végrehajtására:
“ Számoljuk ki a kétharmadát egy páratlan
nevezõjû törtnek. Ha megkérdezik tõled:
Mennyi a kétharmada a …? , Te veszed a nevezõ kétszeresét
illetve a hatszorosát. Az eredmény a két ilyen nevezõjû
tört összege lesz. Például 1/9 az 1/18 + 1/54.”
A leírt eljárás jó eredményt ad-e
bármely 1 számlálójú és páratlan
nevezõjû tört esetében?
( 5 pont )
3. FELADAT: OP-ART
Rémy a mellékelt hatszöget piros, sárga
és zöld egybevágó
rombuszokkal egyszeresen és hézagmentesen fedi le úgy,
hogy az A jelû rombusszal azonos állású rombuszok
pirosak, a B-vel azonos állásúak sárgák
és a C-vel azonos állásúak zöldek legyenek.
Végül meglepetésére a lefedett hatszögre
ugyanannyi piros, sárga és zöld rombusz került.
Rémy-nek sikerült magyarázatot találnia e jelenségre,
mégpedig úgy, hogy a hatszöget egy kocka képének
fogta fel, amelybe kis kockákat helyeztek el.
Fejtsétek ki részletesen Rémy indoklását,
és másoljátok le a hatszöget a válaszlapra,
színezzétek ki egy lehetséges módon a megadott
szabály szerint!
( 10 pont )
4. FELADAT: ZSETON-HIÁNY
Nathalie és Coralie 9 zsetonnal játszanak, melyeket
1-tõl 9-ig megszámoztak.
-
“Érdekes! Ha elveszem ezt a zsetont, a maradék nyolcat három
kupacba tudjuk rakni úgy, hogy az egyes kupacokban lévõ
zsetonokon a számok összege ugyanaz legyen. ” – mondta Coralie.
-
“Én azt mondom, hogy négy kupacba is
lehet a maradék nyolc zsetont osztani, s akkor is igaz az állításod!”
– válaszolta Nathalie.
Hányas számú zsetont vette ki a többi közül
Coralie? Válaszotokat indokoljátok! Adjatok egy-egy példát
a kupacba rendezésre!
( 5 pont )
5. FELADAT: KOORDINÁTA RENDSZER-HIÁNY
Az A4-es válaszlap átlóinak metszéspontja legyen
A, s a B pont az egyik átlón 5 cm távolságra
van A-tól.
Egy derékszögû koordinátarendszerben,
melyben az egység a két tengelyen egyenlõ, a két
pont koordinátái:
A( 3;2 ) és B( 7;5) . Csakhogy
a koordinátarendszer eltûnt!
Körzõvel és vonalzóval szerkesszétek
meg a koordinátarendszert, s eljárásotokat indokoljátok!
( 10 pont )
6. FELADAT: BOLDOG SZÜLETÉSNAPOT!
Íme egy rejtjeles üzenet:
Á-U-CS NY-Í-I-Ü N
Õ-Í-É-I-TY-N-X-P-Ü-E Õ-N-X-J-CS-R-S X-Í-SZ-Ü-Z-SZ
Az üzenet kódolására a “Matematika Határok
Nélkül” elnevezésû
kulcsot alkalmazták. Ennek a lényege a következõ.
Megnézzük az üzenet minden betûjének sorszámát
az ABC-ben. Az elsõ sorszámához 13-at, a másodikéhoz
19-et, a harmadikéhoz 6-ot, a negyedikéhez megint 13-at,
majd 19-et és 6-ot adunk hozzá, és így
tovább. A leírt rejtjeles szöveg az így kapott
sorszámoknak megfelelõ betû. ( A “zs” a 42., majd újra
kezdve az “a” 43., “á” 44., “b” 45., és így tovább.)
Fejtsétek meg az üzenetet!
( 5 pont )
7. FELADAT: MINDEN VISZONYLAGOS
Egy P bolygó ( C ) kört ír le az E csillag körül.
Keringési ideje 360 nap.
A bolygó körül egy S
mesterséges hold kering ugyanabban a körüljárási
irányban. P-bõl nézve a mesterséges hold (
C’ ) körpályán kering a ( C ) –vel azonos síkban,
állandó nagyságú sebességgel.
30 naponta az E, P és S pontok ilyen sorrendben egy egyenesbe
esnek.
Tudjuk, hogy: EP= 70 000 000 km , PS= 10 000 000 km.
Rajzoljátok meg S által
befutott pályát E-bõl nézve! Ehhez helyezzétek
E-t a válaszlap középpontjába, ( C ) kör
sugarát 7 cm-nek, ( C’ ) kör sugarát 1 cm-nek
vegyétek.
( 10 pont )
8. FELADAT: RETROSPEKTÍV
Rémy a számítógépébe
beüti a mai dátumot : 1999. március 11. A képernyõn
a következõ szám jelenik meg: 34768.
Amikor a legelsõ Matematika Határok Nélkül
verseny dátumát írja be, a képernyõn
a felirat: 31478 lesz.
Tudni kell Rémy számítógépérõl,
hogy a dátum helyett egy számot ír ki, amely minden
nap 1-gyel növekszik.
Milyen napon volt az elsõ Matematika Határok Nélkül
verseny? Számítsátok ki a pontos dátumot,
és azt is, hogy a hét melyik napjára esett!
( 5 pont )
9. FELADAT: VÁGD ÉS RAGASZD!
A mellékelt háromszöget az egyik súlyvonala
mentén kettévágták. Átdarabolással
is belátható, hogy a kapott két rész területe
megegyezik. Ehhez
elegendõ az egyik részt újból ketté
vágni, és más módon összeilleszteni az
így keletkezett két darabot.
Rajzoljátok le a kiinduló háromszöget, majd
a megfelelõen kivágott, és újra összeillesztett
darabokat ragasszátok a válaszlapra úgy, hogy a területek
egyenlõsége nyilvánvaló legyen. Indokoljátok
is a területek egyenlõségét munkátok alapján!
( 10 pont )
10. FELADAT: KUBIZMUS
Csak egyféle “monokocka” és “bikocka” van. “Trikocká”-ból
kétféle lehetséges. Hányféle, nem egybevágó
“kvadrikocka” építhetõ?
Rajzoljátok le az összes “kvadrikocka” képét
az ábrán látható ábrázolási
módon!
( 15 pont )
11. FELADAT: LÁTÓSZÖG
A Vénuszt Esthajnal csillagnak is nevezik, mert gyakran hajnalban,
vagy nem sokkal a naplemente után látható az égbolton.
Ahogyan a Föld, úgy a Vénusz
is hozzávetõleg körpályán kering a Nap
körül, de más sebességgel. A Föld és
Vénusz pályája nagyjából egy síkban
vannak.
A csillagászok megfigyelték, hogy az NFVÐ
az idõ függvényében
változik, de sosem lesz nagyobb egy adott értéknél.
Ábrázoljátok a Föld pályáját
egy N középpontú, 5 cm sugarú körrel. Jelöljétek
F-fel a Földet a körön! Rajzoljátok meg a Vénusz
pályáját, ha tudjuk, hogy az NFVÐ
nem haladja meg a 46Ú-ot!
Mekkora a Vénusz pályájának sugara, ha
NF H 150 000 000 km!
( 5 pont )
12. FELADAT: ÚTON, ÚTFÉLEN
…
A mellékelt úthálózat csomópontjait
az ábrán látható módon megszámozzuk.
Minden csomópontnak koordinátái vannak, például
a 18-as csomóponté (3;2).
Mik lesznek az 1999-es csomópont koordinátái?
Indokoljátok válaszotokat!
( 10 pont )
13. FELADAT: PIRAMIS-REJTÉLY
Petit Pierre a körzõjével
és vonalzójával játszadozik. Elõször
egy 10 cm oldalélû ABCD négyzetet rajzol egy kartonra.
Majd mind a négy csúcs köré rajzol egy-egy
olyan negyedkört, amelyik összeköti egy átló
két végpontját. Az ívek E, F, G és H
pontban metszik egymást.
Petit Pierre elgondolkodik azon, az AEBFCGDH sokszög nem lehet-e
egy gúla hálózata?
Válaszoljatok Petit Pierre kérdésére, és
indokoljátok is a választ! Amennyiben valóban egy
gúla hálózatáról van szó, mennyi
e testnek a magassága?
( 15 pont )